ENERO

CLASE N 4
4 DE ENERO DEL 2017

MEDIA Y VARIANZA DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Ejemplo

Calcule la media y la varianza para el ejemplo de la estación de servicio en donde X es una variable aleatoria continua que representa tiempo de atención en horas, siendo su densidad de probabilidad:

Las propiedades son las mismas que en las variables aleatorias discretas

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETAS

Uniforme:

Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado.

Si X es la variable aleatoria correspondiente a los seis resultados posibles, encuentre su distribución de probabilidad.

Respuesta

Cada resultado tiene igual probabilidad, por lo tanto la distribución de probabilidad de X es discreta uniforme:

GRAFICO:

MEDIA Y VARIANZA 

Bernoulli

Es un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos resultados posibles. Es costumbre designarlos como “éxito” y “fracaso” aunque pueden tener otra representación y estar asociados a algún otro significado de interés.

Si la probabilidad de obtener “éxito” en cada ensayo es un valor que lo representamos con p, entonces, la probabilidad de obtener “fracaso” será el complemento q = 1 – p.

Binomial:

Esta distribución es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con características similares a un experimento de Bernoulli, pero ahora es de interés la variable aleatoria relacionada con la cantidad de “éxitos” que se obtienen en el experimento.

Características de un Experimento Binomial

a) La cantidad de ensayos n, que se realizan es finita.

b) Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles: “éxito” o “fracaso”

c) Todos los ensayos realizados son independientes

d) La probabilidad p, de obtener “éxito” en cada ensayo permanece constante.

Ejemplo. Se realizan 8 lanzamientos de un dado. Calcule la probabilidad de obtener 4 veces el número 5.

Respuesta. Este experimento tiene las características de un experimento binomial con:

n = 8: Cantidad de ensayos realizados (se suponen independientes)

p = 1/6 Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” (se obtiene el 5)

X: Variable aleatoria discreta (cantidad de veces que sale el 5)

x = 0, 1, 2, ..., 8 Valores que puede tomar X

CLASE N 5

6 DE ENERO DEL 2017

Ejemplo

Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay dos o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se conoce por experiencia que la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso es 5%.

Encuentre la probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga al aplicar esta norma de control de calidad.

Respuesta

Esta situación corresponde a un experimento binomial

n = 20 Cantidad de ensayos (independientes)

p = 0.05 Probabilidad de éxito (constante)

X: Variable aleatoria discreta (cantidad de artículos defectuosos)

x = 0, 1, ..., 20 Valores que puede tomar X

MEDIA Y VARIANZA

CLASE N 6

11 DE ENERO DEL 2017

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad correspondiente al número de “éxitos” que se obtendrían en una región o en intervalo de tiempo especificados, si se conoce el número promedio de “éxitos” que ocurren. Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:

a) El número de “éxitos” que ocurren en la región o intervalo es independiente de lo que ocurre en otra región o intervalo

b) La probabilidad de que un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño, es igual para todos los intervalos o regiones de igual tamaño y es proporcional al tamaño de la región o intervalo.

c) La probabilidad de que más de un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño no es significativa.Algunas situaciones que se pueden analizar

MEDIA Y VARIANZA

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En la Distribución Binomial cuando n es grande no es práctico el uso de la fórmula. Para entender esto, suponga que n=100, p=0.05 y se quiere calcular la probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor 4:

COMO MUCHAS APLICACIONES DEPENDEN DEL TIEMPO SE PUEDE TRANSFORMAR EN :

CLASE N 7

13 DE ENERO DEL 2017

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados “éxitos” y los restantes son considerados “fracasos”.

Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de “éxito” al tomar cada nuevo elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población está cambiando.

MEDIA Y VARIANZA

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Este modelo de probabilidad tienen características similares al modelo binomial: los ensayos son independientes, cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, y la probabilidad que cada ensayo tenga un resultado favorable es constante. Pero, en este modelo la variable aleatoria es diferente:

MEDIA Y VARIANZA

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Es un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer “éxito”

MEDIA Y VARIANZA

CLASE N 8

18 DE ENERO DEL 2017

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES EN VARIABLES CONTINUAS

DISTRIBUCION UNIFORME

Este modelo corresponde a una variable aleatoria continua cuyos valores tienen igual valor de probabilidad en un intervalo especificado para la variable

MEDIA Y VARIANZA

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La Distribución Normal es la piedra angular de la teoría estadística moderna. Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y también realizados por los humanos.

La gráfica de f es similar al perfil del corte vertical de una campana y tiene las siguientes características:

1) Es simétrica alrededor de μ

2) Su asíntota es el eje horizontal

3) Sus puntos de inflexión están ubicados en μ – σ y μ + σ

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Para generalizar y facilitar el cálculo de probabilidad con la distribución Normal, es conveniente definir la Distribución Normal Estándar que se obtiene haciendo μ = 0, y σ2 = 1 en la función de densidad de la Distribución Normal

LOS VALORES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR ESTA DADA EN TABLAS DEBIDO A SU DIFICULTAD DE ENCONTRARLAS MANUALMENTE 

CLASE N 9

20 DE ENERO DEL 2017

EVALUACIÓN N1

CLASE N 10

25 DE ENERO DEL 2017

ESTANDARIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si una variable tiene distribución Normal, mediante una sustitución se la puede transformar a otra variable con distribución Normal Estándar. Este cambio de variable facilita el cálculo de probabilidad y se denomina estandarización de la distribución de la variable.

VALORES REFERENCIALES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Hay ciertos valores de la distribución Normal de uso frecuente.

Si X es una variable aleatoria con distribución Normal, la probabilidad que tome valores en un intervalo centrado en μ, hasta una distancia de una desviación estándar σ es aproximadamente 68%, hasta una distancia de 2σ es aproximadamente 95% y hasta una distancia de 3σ es cercano a 100% como se demuestra a continuación:

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Sea X una variable aleatoria discreta con distribución Binomial con media μ =np, y varianza σ2 = np(1-p)

Entonces, el límite de la distribución de la variable aleatoria

Es la distribución Normal Estándar: N(0,1)

La demostración es una aplicación del Teorema del Límite Central, uno de los teoremas fundamentales de la estadística y que será enunciado posteriormente

La bibliografía estadística establece que la aproximación es aceptable aún con valores pequeños de n, siempre que p esté cerca de 0.5, o si simultáneamente:

CLASE N 11

27 DE ENERO DEL 2017

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Es un caso particular de la distribución Gamma y tiene aplicaciones de interés práctico.

Se obtiene con α = 1 en la distribución Gamma

Gráfico de la Distribución Exponencial

El gráfico de la densidad de probabilidad de la distribución Exponencial tiene la forma típica

decreciente y su dominio es R+

MEDIA Y VARIANZA 

EJEMPLO:

Un sistema usa un componente cuya duración en años es una variable aleatoria con distribución Exponencial con media de 4 años. Si se instalan 3 de estos componentes y trabajan independientemente, determine la probabilidad que al cabo de 6 años, dos de ellos sigan

funcionando.

UNA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Puede demostrarse que si una variable aleatoria tiene distribución de Poisson con parámetro λ, entonces el tiempo de espera entre dos “éxitos” consecutivos es una variable aleatoria con distribución Exponencial con parámetro β = 1/λ